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Spanish:
Sean y puntos de y del  . y son los ortocentros y  circuncentros de los triángulos y respectivamente, si es el punto de intersección de la recta perpendicular a   por el punto medio del segmentos y la recta perpendicular a por el punto medio de . Pruebe que la recta pasa por el punto


English:
Let and be points on the lines and of the triangle . Let and be the orthocenters and circumcenters of the triangles and , respectively.
Let be the intersection point of the perpendicular to through the midpoint of   and the perpendicular to   through the midpoint of .  Show that passes through the point

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En la figura . Probar que : m <DPE = 90° y que PD = PE

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Comparto un problema interesante 

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Dada una circunferencia (Gamma) con centro O y radio r. Sea AB un diametro fijo de (Gamma) y sea K un punto fijo del segmento AO.  Denotemos por t a la recta tangente de (Gamma) en A. Para cualquier cuerda CD (distinto de AB) que pasa por K y sea P y Q los puntos de interseccion de las rectas BC y BD con la tangente t. Pruebe que AP.AQ es constante.

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El área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d es S.
Demostrar que
 4.S   <=  (a + c).(b + d)

¿En qué casos se da la igualdad?

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Supongamos que P y Q son los vértices antípodas de una caja cúbica de arista 1 unidad  (Es decir  PQ es una diagonal  del cubo.)

(a) ¿Cuál es el radio de la esfera más grande que se puede poner dentro de la caja sin ser perforado por la diagonal PQ?
 
(b) ¿En cuántas posiciones distintas  pueden ser colocadas la (s) esfera(s) en la caja?

(c) ¿Cuántas esferas tales al mismo tiempo se puede poner en la caja?